Friday, 4 November 2011
Penyelesaian Masalah Matematik Sekolah Rendah dengan Menggunakan Strategi Melukis Gambar Rajah
ABSTRAK
Penyelesaian masalah matematik merupakan satu kemahiran yang penting
dalam pembelajaran matematik di sekolah. Dalam kurikulum latihan perguruan di
institut perguruan, pelbagai strategi penyelesaian masalah matematik telah
diperkenalkan kepada guru pelatih dan diharapkan mereka dapat
mengaplikasikan kemahiran yang telah dipelajari untuk melaksanakan
pengajaran yang berkesan di sekolah. Guru sekolah harus menerokai pelbagai
strategi menyelesaikan masalah serta dapat memilih strategi yang sesuai
dengan mengambil kira perbezaan individu seperti kebolehan, minat, gaya
pembelajaran serta pelbagai kecerdasan pelajar. Bengkel ini merupakan satu
sesi perkongsian pengalaman untuk mengaplikasikan strategi melukis gambar
rajah dalam menyelesaikan masalah matematik. Peserta bengkel akan diberi
peluang untuk menyelesaikan masalah matematik dan membanding bezakan
kekuatan dan kelemahan strategi yang telah digunakan.
Pengenalan
Pengetahuan matematik boleh dikategorikan dalam lima jenis iaitu fakta, algoritma, konsep,
hubungan antara konsep dan penyelesaian masalah. Penyelesaian masalah merupakan satu
aspek yang sangat penting dan merupakan objektif utama dalam pembelajaran matematik. Ia
juga merupakan bentuk pembelajaran pada tahap yang tertinggi (Gagne, 1985). Pelajar
diharapkan dapat membina pengetahuan dan kemahiran baru melalui proses penyelesaian
masalah, menyelesaikan masalah yang dihadapi dalam kurikulum matematik serta
mengaplikasikan pelbagai strategi penyelesaian masalah matematik dalam konteks yang
berbeza.
Dalam kurikulum matematik KBSR, penyelesaian masalah merupakan salah satu daripada lima
tunjang (five pillars) utama dalam pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah.
Penyelesaian masalah merupakan kemahiran matematik uatama yang harus diperkembangkan
di kalangan pelajar. Dalam latihan keguruan di Institut, penyelesaian masalah matematik
merupakan salah satu daripada komponen yang penting dan wajib diambil oleh semua guru
pelatih yang mengambil mata pelajaran major atau minor matematik. Pengetahuan dan
kemahiran pengajaran penyelesaian masalah matematik diharapkan dapat diaplikasikan
dengan berkesan dalam pengajaran dan pembelajaran di sekolah.
Definisi Masalah
Menurut Krulik dan Rudnick (1989), masalah ialah satu situasi, kuantitatif atau sebaliknya, yang
dihadapi oleh seseorang individu atau kumpulan individu yang memerlukan penyelesaian dan
individu itu tidak mempunyai penyelesaiannya. Selain daripada itu, sesuatu masalah seharus
juga memenuhi tiga kriteria yang beikut:
1.Penerimaan - Seorang individu menerima masalah itu. Penglibatan individu mungkin
disebabkan oleh motivasi atau mempunyai keinginan untuk mengalami keseronokan
menyelesaikan masalah tersebut;
2.Halangan - Percubaan awal individu adalah tidak berjaya; dan
3.Penerokaan - Penglibatan individu dalam (1) memaksa dia mencari cara penyelesaian
yang baru.
Charles dan Lester (1982) pula mendefinasikan masalah sebagai satu tugasan dimana
1.Individu yang menghadapinya memerlukan satu penyelesaian;
2.Individu itu tidak mempunyai prosedur yang sedia ada untuk mendapatkan
penyelesaiannya; dan
3.Individu itu seharusnya melakukan percubaan untuk mendapatkan penyelesaiannya.
Definisi-definisi di atas mempunyai kesamaannya. Aspek yang pertama ialah memahami
masalah itu. Sesuatu masalah perlu difahami oleh individu yang menghadapinya. Jika
seseorang individu tidak memahami masalah yang diberi, dia tidak dapat membentuk
perwakilan untuk masalah tersebut (Davidson, Deuser, & Sternberg, 1996; Hayes, 1989).
Seseorang individu berupaya menentukan penyelesaian sesuatu masalah jika masalah itu
adalah bermakna kepadanya (Cronbach, 1955). Oleh itu, masalah yang dibentuk seharusnya
bermakna kepada pelajar. Aspek yang kedua ialah prosedur penyelesaian masalah.
Seseorang individu perlu menentukan apakah maklumat yang diberi serta objektif yang hendak
dicapainya. Aspek yang ketiga ialah penerimaan cabaran oleh seseorang individu.
Penyelesaian Masalah Matematik
Menurut Krulik dan Rudnick (1989), penyelesaian masalah merupakan satu proses yang
kompleks dan sukar dipelajarinya. Ia mengandungi satu siri tugasan dan proses pemikiran yang
dihubungkait rapat untuk membantu pembentukan satu set heuristik atau corak heuristik. Ia
merupakan satu set cadangan dan soalan yang harus dilalui oleh pelajar untuk membantunya
dalam penyelesaian masalah. Heuristik adalah kaedah umum yang dapat diaplikasikan kepada
semua kelas masalah.
Terdapat beberapa model penyelesaian masalah yang sering digunakan dalam pendidikan
matematik seperti Model Lester (1975), Model Mayer (1983), Model Polya (1973) dan Model
Schoenfeld (1985). Model Polya digunakan di sekolah dalam kurikulum matematik bagi
Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM) dan sekolah rendah (KBSR). Model empat
langkah ini juga mudah difahami dan sering digunakan dalam penyelidikan masalah matematik
di Malaysia (Lau, Hwa, Lau, & Limok 2003; Noor Azlan & Lui, 2002). Menurut Model Polya
(1973), terdapat empat fasa penyelesaian masalah matematik merangkumi:
Dalam setiap fasa penyelesaian, beberapa soalan boleh ditanya atau cadangan untuk
membantu pelajar memahami masalah dan juga memperolehi penyelesaiannya.
Salah satu pendekatan pengajaran matematik ialah pendekatan berpusatkan masalah
(problem-centered approach). Pendekatan ini dipercayai dapat a) memupuk penerokaan idea-
idea penting matematik (National Council of Teachers of Mathematics, 2000) b)
memperkembangkan kuasa matematik (develop mathematical power) iaitu keupayaan untuk
membuat matematik dan mempunyai celik akal (insight) dalam pembelajaran matematik
(Lester, Masingila, Mau, Lambdin, dos Santon, & Raymond, 1994) dan c) mengalihkan
penekanan daripada melakukan aktiviti kepada memikirkan hubungan antara idea-idea
matematik (Schoenfeld, 1985). Schroeder dan Lester (1989) memberi komen bahawa sesuatu
masalah boleh digunakan sebagai satu cara untuk mempelajari sebarang isi kadungan
matematik.
Strategi Penyelesaian Masalah Matematik
Dalam penyelesaian masalah matematik, satu atau lebih strategi dapat digunakan untuk
memperolehi penyelesaianya. Strategi-strategi yang biasa digunakan di sekolah dan juga
strategi yang diajar di Institut dalam komponen kursus latihan perguruan adalah seperti yang
berikut:
1.Teka dan uji
2.Melakonkan masalah
3.Menyiasat semua kemungkinan
4.Mencari pola
5.Kerja secara songsang
6.Memudahkan masalah
7.Membina model
8.Mengenalpasti ’subgoal’
9.Membuat analogi
10.Membina jadual
11.Melukis gambar rajah
Pemilihan strategi penyelesaian masalah adalah banyak bergantung kepada jenis masalah
yang ingin di selesaikan. Strategi-strategi yang kerap digunakan dalam menyelesaikan masalah
matematik di sekolah rendah adalah seperti mengenalpasti ’subgoal’, membina jadual, melukis
gambar rajah dan memudahkan masalah. Berasaskan pengalaman dalam pendidikan
matematik di Institut Perguruan, strategi melukis gambar rajah merupakan satu strategi yang
amat berguna dan dapat membantu pelajar membuat perwakilan/model matematik secara
separa konkrit (semi-concrete) dan seterusnya membantunya menyelesaikan masalah.
Pembinaan Model
Pembinaan model boleh dibahagikan kepada tiga tahap iaitu
• Menggunakan bahan konkrit (peringkat konkrit)
• Menggunakan perwakilan seperti gambar rajah (peringkat separa konkrit)
• Menggunakan simbol matematik (peringkat abstrak)
Pembudayaan Penyelidikan Ke Arah Kecemerlangan Profesionalisme Keguruan
1.Memahami masalah;
2.Merancang pelan;
1.Merancang pelan, dan
2.Mengimbas kembali.
Dalam penyelesaian masalah matematik sekolah rendah, pembinaan perwakilan /model
dengan menggunakan simbol algebra belum diperkenalkan kerana ia melibatkan pemikiran
yang abstrak. Penggunaan bahan konkrit sebagai perwakilan /model sesuai untuk membantu
pelajar menterjemahkan masalah dalam bentuk matematik. Walaubagaiman pun, ia tidak dapat
dilaksanakan apabila pelajar menyelesaikan masalah dalam situasi tanpa bahan konkrit yang
sesuai atau tidak boleh menggunakan bahan konkrit (misalnya menyelesaikan masalah
matematik dalam peperiksaan). Oleh itu, pembinaan model dengan menggunakan gambar
rajah sesuai digunakan untuk membantu pelajar mewakilkan bahan-bahan konkrit yang mereka
gunakan semasa menyelesaikan masalah pada peringkat konkrit. Perwakilan menggunakan
gambar rajah dapat membantu pelajar memindahkan kefahaman pada peringkat konkrit ke
peringkat abstrak.
Strategi Melukis Gambar Rajah
Untuk kuatiti kecil yang berbentuk diskrit , maklumat boleh diwakilkan dengan menggunakan
bentuk-bentuk mudah seperti bulatan dan segiempat sama. Misalnya, dalam contoh 1, bilangan
epal dan oren yang diberi adalah kecil dan ia boleh wakilkan dengan bulatan.
Contoh 1
Harga bagi 6 biji epal dan 10 biji oren ialah RM 13. Jika harga bagi setiap 2 biji epal itu ialah
RM 1.50, berapakah harga bagi 3 biji oren itu ?
Walaubagaimana pun, kuantiti diskrit yang besar sukar diwakilkan dengan rajah yang diskrit
dan dapat diwakilkan dengan sebuah segi empat sama seperti dalam contoh-contoh berikut:
Contoh 2
Cikgu Kassim ada 176 batang pensel. Dia memeberi 26 batang pensel kepada Muthu. Baki
pensel itu dibahagikan secara sama banyak kepada Siti, Kim Seng, dan Shanti. Tentukan
bilangan pensel yang diterima oleh Siti.
Contoh 3
1/4 daripada bilangan roti di dalam sebuah kedai didapati berkulat. Jika bilangan roti yang
masih elok ialah 135 bungkus, berapa bungkus rotikah yang ada di dalam kedai itu?
Masalah di atas dapat diwakilkan secara visual dengan menggunakan gambar rajah yang
mudah dan ia juga dapat membantu pelajar memahami konsep.
Contoh 4
sebungkus gula-gula diagihkan kepada Ali dan Ahmad. Bilangan gula-gula yang diperoleh Ali
adalah 3 kali bilangan gula-gula yang diperoleh Ahmad. Jika Ali mendapat 240 biji gula-gula,
kira jumlah gula-gula di dalam bungkusan itu.
Contoh 5
Seorang pekedai mempunyai segulung tali yang panjangnya 42 m. Dia memotong tali itu
kepada 12 potongan yang sama panjang. Panjang setiap potongan tali ialah 3.3 m. Berapakah
panjang, dalam m, tali yang tinggal?
Perwakilan dengan menggunakan gambar rajah dapat juga diaplikasikan dalam menyelesaikan
masalah yang agak sukar untuk pelajar sekolah rendah tanpa menggunakan strategi algebra.
Dengan menggunakan strategi ini, sebilangan masalah-masalah matematik yang di erkenalkan
di sekolah menengah dapat juga diselesaikan oleh pelajar sekolah rendah. Masalah-masalah ini
boleh digunakan sebagai aktiviti memupuk pemikiran aras tinggi khususnya untuk pelajar yang
cerdas.
Contoh 6
Sebuah kotak mengandungi bola berwarna merah, hijau, biru dan kuning. 0.3 daripada bola
berwarna merah, 0.4 daripadanya berwarna hijau dan yang lain berwarna biru dan kuning.
Jumlah bilangan bola berwarna biru ialah dua kali bilangan bola berwarna kuning. Bilangan bola
merah adalah 17 biji lebih daripada bilangan bola berwarna biru. Berapakah jumlah bilangan
bola kesemuanya?
Contoh 7
Jalil mempunyai RM8.00. Jumlah wang kepunyaan Jalil, Mahmud dan Bolhan ialah RM30.00.
Jumlah wang kepunyaan Jalil, Mahmud dan Dahlan ialah RM40.00. Jika jumlah wang
kepunyaan keempat-empat mereka ialah RM52.00, berapakah jumlah wang kepunyaan
Mahmud?
Dengan membandingkan Rajah 1 dan 3
Jumalah wang kepunyaan Dahlan = RM 52 – RM 30
= RM 22
Dengan membandingkan Rajah 1 dan 2 :
Jumlah wang kepunyaan Bolhan = RM 22 – RM 10
= RN 12
Daripada Rajah 1:
Jumlah wang kepunyaan Mahmud = RM 22 – RM 12
= RM 10
Penyelesaian masalah matematik merupakan satu kemahiran yang penting
dalam pembelajaran matematik di sekolah. Dalam kurikulum latihan perguruan di
institut perguruan, pelbagai strategi penyelesaian masalah matematik telah
diperkenalkan kepada guru pelatih dan diharapkan mereka dapat
mengaplikasikan kemahiran yang telah dipelajari untuk melaksanakan
pengajaran yang berkesan di sekolah. Guru sekolah harus menerokai pelbagai
strategi menyelesaikan masalah serta dapat memilih strategi yang sesuai
dengan mengambil kira perbezaan individu seperti kebolehan, minat, gaya
pembelajaran serta pelbagai kecerdasan pelajar. Bengkel ini merupakan satu
sesi perkongsian pengalaman untuk mengaplikasikan strategi melukis gambar
rajah dalam menyelesaikan masalah matematik. Peserta bengkel akan diberi
peluang untuk menyelesaikan masalah matematik dan membanding bezakan
kekuatan dan kelemahan strategi yang telah digunakan.
Pengenalan
Pengetahuan matematik boleh dikategorikan dalam lima jenis iaitu fakta, algoritma, konsep,
hubungan antara konsep dan penyelesaian masalah. Penyelesaian masalah merupakan satu
aspek yang sangat penting dan merupakan objektif utama dalam pembelajaran matematik. Ia
juga merupakan bentuk pembelajaran pada tahap yang tertinggi (Gagne, 1985). Pelajar
diharapkan dapat membina pengetahuan dan kemahiran baru melalui proses penyelesaian
masalah, menyelesaikan masalah yang dihadapi dalam kurikulum matematik serta
mengaplikasikan pelbagai strategi penyelesaian masalah matematik dalam konteks yang
berbeza.
Dalam kurikulum matematik KBSR, penyelesaian masalah merupakan salah satu daripada lima
tunjang (five pillars) utama dalam pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah.
Penyelesaian masalah merupakan kemahiran matematik uatama yang harus diperkembangkan
di kalangan pelajar. Dalam latihan keguruan di Institut, penyelesaian masalah matematik
merupakan salah satu daripada komponen yang penting dan wajib diambil oleh semua guru
pelatih yang mengambil mata pelajaran major atau minor matematik. Pengetahuan dan
kemahiran pengajaran penyelesaian masalah matematik diharapkan dapat diaplikasikan
dengan berkesan dalam pengajaran dan pembelajaran di sekolah.
Definisi Masalah
Menurut Krulik dan Rudnick (1989), masalah ialah satu situasi, kuantitatif atau sebaliknya, yang
dihadapi oleh seseorang individu atau kumpulan individu yang memerlukan penyelesaian dan
individu itu tidak mempunyai penyelesaiannya. Selain daripada itu, sesuatu masalah seharus
juga memenuhi tiga kriteria yang beikut:
1.Penerimaan - Seorang individu menerima masalah itu. Penglibatan individu mungkin
disebabkan oleh motivasi atau mempunyai keinginan untuk mengalami keseronokan
menyelesaikan masalah tersebut;
2.Halangan - Percubaan awal individu adalah tidak berjaya; dan
3.Penerokaan - Penglibatan individu dalam (1) memaksa dia mencari cara penyelesaian
yang baru.
Charles dan Lester (1982) pula mendefinasikan masalah sebagai satu tugasan dimana
1.Individu yang menghadapinya memerlukan satu penyelesaian;
2.Individu itu tidak mempunyai prosedur yang sedia ada untuk mendapatkan
penyelesaiannya; dan
3.Individu itu seharusnya melakukan percubaan untuk mendapatkan penyelesaiannya.
Definisi-definisi di atas mempunyai kesamaannya. Aspek yang pertama ialah memahami
masalah itu. Sesuatu masalah perlu difahami oleh individu yang menghadapinya. Jika
seseorang individu tidak memahami masalah yang diberi, dia tidak dapat membentuk
perwakilan untuk masalah tersebut (Davidson, Deuser, & Sternberg, 1996; Hayes, 1989).
Seseorang individu berupaya menentukan penyelesaian sesuatu masalah jika masalah itu
adalah bermakna kepadanya (Cronbach, 1955). Oleh itu, masalah yang dibentuk seharusnya
bermakna kepada pelajar. Aspek yang kedua ialah prosedur penyelesaian masalah.
Seseorang individu perlu menentukan apakah maklumat yang diberi serta objektif yang hendak
dicapainya. Aspek yang ketiga ialah penerimaan cabaran oleh seseorang individu.
Penyelesaian Masalah Matematik
Menurut Krulik dan Rudnick (1989), penyelesaian masalah merupakan satu proses yang
kompleks dan sukar dipelajarinya. Ia mengandungi satu siri tugasan dan proses pemikiran yang
dihubungkait rapat untuk membantu pembentukan satu set heuristik atau corak heuristik. Ia
merupakan satu set cadangan dan soalan yang harus dilalui oleh pelajar untuk membantunya
dalam penyelesaian masalah. Heuristik adalah kaedah umum yang dapat diaplikasikan kepada
semua kelas masalah.
Terdapat beberapa model penyelesaian masalah yang sering digunakan dalam pendidikan
matematik seperti Model Lester (1975), Model Mayer (1983), Model Polya (1973) dan Model
Schoenfeld (1985). Model Polya digunakan di sekolah dalam kurikulum matematik bagi
Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM) dan sekolah rendah (KBSR). Model empat
langkah ini juga mudah difahami dan sering digunakan dalam penyelidikan masalah matematik
di Malaysia (Lau, Hwa, Lau, & Limok 2003; Noor Azlan & Lui, 2002). Menurut Model Polya
(1973), terdapat empat fasa penyelesaian masalah matematik merangkumi:
Dalam setiap fasa penyelesaian, beberapa soalan boleh ditanya atau cadangan untuk
membantu pelajar memahami masalah dan juga memperolehi penyelesaiannya.
Salah satu pendekatan pengajaran matematik ialah pendekatan berpusatkan masalah
(problem-centered approach). Pendekatan ini dipercayai dapat a) memupuk penerokaan idea-
idea penting matematik (National Council of Teachers of Mathematics, 2000) b)
memperkembangkan kuasa matematik (develop mathematical power) iaitu keupayaan untuk
membuat matematik dan mempunyai celik akal (insight) dalam pembelajaran matematik
(Lester, Masingila, Mau, Lambdin, dos Santon, & Raymond, 1994) dan c) mengalihkan
penekanan daripada melakukan aktiviti kepada memikirkan hubungan antara idea-idea
matematik (Schoenfeld, 1985). Schroeder dan Lester (1989) memberi komen bahawa sesuatu
masalah boleh digunakan sebagai satu cara untuk mempelajari sebarang isi kadungan
matematik.
Strategi Penyelesaian Masalah Matematik
Dalam penyelesaian masalah matematik, satu atau lebih strategi dapat digunakan untuk
memperolehi penyelesaianya. Strategi-strategi yang biasa digunakan di sekolah dan juga
strategi yang diajar di Institut dalam komponen kursus latihan perguruan adalah seperti yang
berikut:
1.Teka dan uji
2.Melakonkan masalah
3.Menyiasat semua kemungkinan
4.Mencari pola
5.Kerja secara songsang
6.Memudahkan masalah
7.Membina model
8.Mengenalpasti ’subgoal’
9.Membuat analogi
10.Membina jadual
11.Melukis gambar rajah
Pemilihan strategi penyelesaian masalah adalah banyak bergantung kepada jenis masalah
yang ingin di selesaikan. Strategi-strategi yang kerap digunakan dalam menyelesaikan masalah
matematik di sekolah rendah adalah seperti mengenalpasti ’subgoal’, membina jadual, melukis
gambar rajah dan memudahkan masalah. Berasaskan pengalaman dalam pendidikan
matematik di Institut Perguruan, strategi melukis gambar rajah merupakan satu strategi yang
amat berguna dan dapat membantu pelajar membuat perwakilan/model matematik secara
separa konkrit (semi-concrete) dan seterusnya membantunya menyelesaikan masalah.
Pembinaan Model
Pembinaan model boleh dibahagikan kepada tiga tahap iaitu
• Menggunakan bahan konkrit (peringkat konkrit)
• Menggunakan perwakilan seperti gambar rajah (peringkat separa konkrit)
• Menggunakan simbol matematik (peringkat abstrak)
Pembudayaan Penyelidikan Ke Arah Kecemerlangan Profesionalisme Keguruan
1.Memahami masalah;
2.Merancang pelan;
1.Merancang pelan, dan
2.Mengimbas kembali.
Dalam penyelesaian masalah matematik sekolah rendah, pembinaan perwakilan /model
dengan menggunakan simbol algebra belum diperkenalkan kerana ia melibatkan pemikiran
yang abstrak. Penggunaan bahan konkrit sebagai perwakilan /model sesuai untuk membantu
pelajar menterjemahkan masalah dalam bentuk matematik. Walaubagaiman pun, ia tidak dapat
dilaksanakan apabila pelajar menyelesaikan masalah dalam situasi tanpa bahan konkrit yang
sesuai atau tidak boleh menggunakan bahan konkrit (misalnya menyelesaikan masalah
matematik dalam peperiksaan). Oleh itu, pembinaan model dengan menggunakan gambar
rajah sesuai digunakan untuk membantu pelajar mewakilkan bahan-bahan konkrit yang mereka
gunakan semasa menyelesaikan masalah pada peringkat konkrit. Perwakilan menggunakan
gambar rajah dapat membantu pelajar memindahkan kefahaman pada peringkat konkrit ke
peringkat abstrak.
Strategi Melukis Gambar Rajah
Untuk kuatiti kecil yang berbentuk diskrit , maklumat boleh diwakilkan dengan menggunakan
bentuk-bentuk mudah seperti bulatan dan segiempat sama. Misalnya, dalam contoh 1, bilangan
epal dan oren yang diberi adalah kecil dan ia boleh wakilkan dengan bulatan.
Contoh 1
Harga bagi 6 biji epal dan 10 biji oren ialah RM 13. Jika harga bagi setiap 2 biji epal itu ialah
RM 1.50, berapakah harga bagi 3 biji oren itu ?
Walaubagaimana pun, kuantiti diskrit yang besar sukar diwakilkan dengan rajah yang diskrit
dan dapat diwakilkan dengan sebuah segi empat sama seperti dalam contoh-contoh berikut:
Contoh 2
Cikgu Kassim ada 176 batang pensel. Dia memeberi 26 batang pensel kepada Muthu. Baki
pensel itu dibahagikan secara sama banyak kepada Siti, Kim Seng, dan Shanti. Tentukan
bilangan pensel yang diterima oleh Siti.
Contoh 3
1/4 daripada bilangan roti di dalam sebuah kedai didapati berkulat. Jika bilangan roti yang
masih elok ialah 135 bungkus, berapa bungkus rotikah yang ada di dalam kedai itu?
Masalah di atas dapat diwakilkan secara visual dengan menggunakan gambar rajah yang
mudah dan ia juga dapat membantu pelajar memahami konsep.
Contoh 4
sebungkus gula-gula diagihkan kepada Ali dan Ahmad. Bilangan gula-gula yang diperoleh Ali
adalah 3 kali bilangan gula-gula yang diperoleh Ahmad. Jika Ali mendapat 240 biji gula-gula,
kira jumlah gula-gula di dalam bungkusan itu.
Contoh 5
Seorang pekedai mempunyai segulung tali yang panjangnya 42 m. Dia memotong tali itu
kepada 12 potongan yang sama panjang. Panjang setiap potongan tali ialah 3.3 m. Berapakah
panjang, dalam m, tali yang tinggal?
Perwakilan dengan menggunakan gambar rajah dapat juga diaplikasikan dalam menyelesaikan
masalah yang agak sukar untuk pelajar sekolah rendah tanpa menggunakan strategi algebra.
Dengan menggunakan strategi ini, sebilangan masalah-masalah matematik yang di erkenalkan
di sekolah menengah dapat juga diselesaikan oleh pelajar sekolah rendah. Masalah-masalah ini
boleh digunakan sebagai aktiviti memupuk pemikiran aras tinggi khususnya untuk pelajar yang
cerdas.
Contoh 6
Sebuah kotak mengandungi bola berwarna merah, hijau, biru dan kuning. 0.3 daripada bola
berwarna merah, 0.4 daripadanya berwarna hijau dan yang lain berwarna biru dan kuning.
Jumlah bilangan bola berwarna biru ialah dua kali bilangan bola berwarna kuning. Bilangan bola
merah adalah 17 biji lebih daripada bilangan bola berwarna biru. Berapakah jumlah bilangan
bola kesemuanya?
Contoh 7
Jalil mempunyai RM8.00. Jumlah wang kepunyaan Jalil, Mahmud dan Bolhan ialah RM30.00.
Jumlah wang kepunyaan Jalil, Mahmud dan Dahlan ialah RM40.00. Jika jumlah wang
kepunyaan keempat-empat mereka ialah RM52.00, berapakah jumlah wang kepunyaan
Mahmud?
Dengan membandingkan Rajah 1 dan 3
Jumalah wang kepunyaan Dahlan = RM 52 – RM 30
= RM 22
Dengan membandingkan Rajah 1 dan 2 :
Jumlah wang kepunyaan Bolhan = RM 22 – RM 10
= RN 12
Daripada Rajah 1:
Jumlah wang kepunyaan Mahmud = RM 22 – RM 12
= RM 10
MODEL PENGAJARAN MATEMATIK SEKOLAH RENDAH: PENGAJARAN PEMUSATAN MURID DAN BERASASKAN KONSTRUKTIVIME.
PENGENALAN
Kelemahan murid-murid dalam matematik merupakan isu utama dalam pendidikan
negara pada masa kini. Di kalangan murid, ramai yang merasakan matematik sebagai
sesuatu koleksi hukum-hukum abstrak yang sukar difahami, menjemukan dan jarang
memberi makna secara langsung kepada mereka.
Sekolah Rendah (KBSR) menjelaskan bahawa pengajaran dan pembelajaran matematik
hendaklah merupakan suatu pengalaman yang seronok dan mencabar bagi semua
murid. Malangnya guru-guru tidak mengikut kehendak sukataran, tetapi mengajar
mengikut pengalaman biasa mereka iaitu pengajaran ialah satu proses memindahkan
atau menyalurkan pengetahuan kepada pelajar. Pengajaran dan pembelajaran
merupakan suatu pengalaman, jarang diberi penekanan oleh guru.
Sukatan Kurikulum Bersepadu
Menurut Judd, Piaget dan Dewey, pengajaran melibatkan lebih daripada mengajar
pelajar-pelajar melakukan respon khusus pada masa dan tempat yang tepat; ia
melibatkan pembelajaran strategi penyelesaian masalah, heuristik dan stratetgi belajar
(Wittrock, 1991). Wittrock menjelaskan pembelajaran melibatkan interaksi di antara
pengetahuan pelajar dan ingatan dan maklumat yang hendak dipelajari. Pengajaran pula
adalah proses yang mendorong pelajar-pelajar membina interaksi ini. Bagi Gabay
(1991), pembelajaran adalah komponen utama dari aktiviti timbal-balas, sebab hasil
yang jelas dikehendaki ialah meningkatkan pengalaman pelajar. Mengajar pula
mencipta syarat atau suasana yang memudahkan pembelajaran.
PENDIDIKAN MATEMATIK DI SEKOLAH RENDAH
Kurikulum matematik sekolah rendah kini berasaskan kepada KBSR dan berteraskan
kepada Falsafah Pendidikan Negara (FPN). Sukatan matematik KBSR meliputi
kemahiran, nombor bulat dan opeasi; pecahan dan operasi; perpuluhan dan operasi;
wang; ukuran dan sukaran; ruang; purata; peratus; dan graf. Berdasarkan Huraian
Sukatan Pelajaran Matematik, matlamat KBSR untuk membina dan mengembangkan
kefahaman murid dalam konsep nombor dan kemahiran asas mengira. Selain itu murid
dapat menghargai kepentingan dan keindahan matematik. Terdapat 7 Objektif yang
telah disenaraikan, yang merangkumi kemahiran asas, kemahiran menggunakan bahasa
dan menyelesaikan masalah.
Proses pengajaran dan pembelajaran matematik KBSR pula cuba memenuhi objektif di
atas. Terdapat 6 perkara yang perlu dipertimbangkan, salah satunya (yang pertama);
Murid perlu dibimbing membina kefahaman tentang konsep dan kemahiran matematik
melalui manipulasi objek konkrit dan gambar rajah serta pemikiran yang bersistem
sebelum diperkenalkan kepada simbol dan algoritma yang merupakan perwakilan
secara abstrak. Pendekatan lain termasuk, latihan, penyelesaian masalah, penggunaan
bahasa, dan penerapan nilai murni. Pendekatan pertama ini jelas menekankan kepada
pemusatan murid dan juga mungkin berasaskan fahaman binaan (konstruktisime).
PENGAJARAN PEMUSATAN MURID.
Model pengajaran ini menggalakkan murid melibatkan diri secara aktif dalam aktiviti
pembelajaran mereka dan guru pula merupakan pemimpin untuk memandu murid-murid
menjalankan aktiviti pembelajaran (Mok Soon Sang, 1993). Dewey sebagai ahli
pendidik
menganalisa pengalaman-pengalaman mereka dan menggalakkan pelajar-pelajar
menjadi lebih bertanggungjawab pada diri sendiri dan terarah (Withall, 1991).
menjelaskan
proses
berorientasi-pelajar
mempastikan
pelajar-pelajar
Konsep pendidikan pemusatan-murid/pelajar berasal dari terapi ‘client-centred’ (Rogers
1965, dalam Withall, 1991). Rogers menjelaskan lagi bahawa dalam hal ini pendidik
mesti sedar dan mengambil berat tentang keperluan afektif pelajar sebagaimana dengan
kognitifnya. Dalam situasi pendidikan, pengajar menggunakan pelbagai ragam
tingkahlaku untuk mengurus suasana pembelajaran (Withall, 1991); tingkahlaku di sini
termasuk: menyusun persekitaran fizikal untuk bersemuka, dialog pada ‘eye-level’ yang
sama di antara guru dengan murid, dan murid dengan murid, mengurangkan jarak sosial
dan .... .
Terdapat kaedah yang bersesuaian untuk dipertimbangkan dalam pengajaran pemusatan
murid; misalnya kaedah kumpulan, inkuiri-penemuan, perbincangan, penyoalan,
penyelesaian masalah, bermain, simulasi, main peranan dan sumbangsaran. Semua
kaedah-kaedah ini hanya dapat digunakan dengan baik jika guru sedar tentang
peranannya dan peranan murid dalam pengajaran dan pembelajaran. Dalam hal ini
Dewey memberi pandangannya, bahawa “educators have to cultivate the ability to put
themselves into the learners’ shoes, and take the phenomenological view (Withall,
1991).
Guru-guru harus tahu ciri-ciri pengajaran pemusatan murid, supaya mereka dapat
mangamalkan model ini dengan lebih berkesan. Mengikut Mok Soon Sang (1993)
terdapat beberapa ciri-ciri yang boleh menjadi panduan, di sini penulis hanya
menyeneraikan sebahagian ciri-cirinya yang dirasakan oleh penulis cukup berkait rapat
dengan fahaman konstruktif. Ciri-ciri tersebut ialah;
♦ Dalam aktiviti P&P, murid memainkan peranan penting, guru merupakan
pemimpin dan membimbing aktiviti.
♦ Interaksi guru dan murid secara dua hala. Interaksi ini mengakibatkan murid
berfikir.
♦ Guru bersifat demokratik, murid-murid sentiasa digalakkan memberi
pendapat mereka, keadah perbincangan digalakkan.
♦ P&P lebih mengutamakan objektif pembelajaran murid.
♦ Penyampaian guru ditumpukan kepada pengajaran yang bermakna supaya
murid memahami dan berupaya membuat kesimpulan.
♦ Interaksi antara murid adalah banyak. Aktiviti kumpulan digalakkan.
♦ Di bawah strategi ini murid-murid akan menunjukkan sifat kreatif dan
berinisiatif.
FAHAMAN KONSTRUKTIF
Fahaman konstruktif dikatakan bermula daripada usaha Jean Piaget, walaubagai mana
pun terdapat sarjana lain seperti Dewey yang secara tidak langsung telah mengutarakan
fahaman yang hampir sama (lihat kenyataan beliau sebelum ini di atas) apa bila dia
menjelaskan, pembelajaran muncul daripada pelajar memproses dari pengalaman
terus mereka (Withall, 1991) dan, “Skills are not acquired by drill and rote
memorization but by activities that the learners, with the aid of educator, employ to
serve their interests and need”.
Selain itu satu teori telah dibina oleh professor P. Ya Galperin dalam tahun 1950an di
USSR yang dikenali sebagai “Theory of Stage-by-Stage Development of Mental
Actions” (Gabay, 1991) yang mana analisis teoritikal ini berdasarkan kepada
“actions”/tindakan sebagai unit utama aktiviti manusia. Galperin (1957, 1969, dalam
Wittrock, 1991) telah mengemukakan model tindakan mental dalam pengajaran.
Pengajaran dalam model ini melibatkan berturut-turut ‘internalization’ kawalan
terhadap tindakan pelajar atau aktivitinya.
Dua contoh yang diutarakan di atas, bagi penulis mempunyai kaitan dengan fahaman
konstruktif.
bukanlah secara terus melalui deria kita, tetapi pertama dan yang lebih utama melalui
tindakan kita (Sinclair, 1987). Ini bermaksud ilmu pengetahun baru dibina daripada
perubahan atau tranformasi subjek diperkenalkan kepda hubungan/interaksi di antara
yang mengetahui dan yang diketahui (knower-known relationship).
menyatakan “that activity means internal manipulations of objects, and that meanings
come from the actions the child performs on these objects, rather than from these
objects themselves” (Wittrock, 1991). Sinclair menjelaskan salah satu maksud tulisan
von Glasersfeld, iaitu pada semua peringkat subjek membina “theories” (dengan
tindakan atau pemikiran) untuk memberi makna terhadap pengalamannya.
Pandangan asas ahli konstruktif ialah, perubahan dalam hubunan di antara subjek dan
objek akan menuju ke arah yang leibh baik walau pun tidak sempurna - subjek
memperolehi ilmu pengetahuan yang lebih baik dari tindakan atau proses pemikirannya
sendiri. Ini jelas bahawa ilmu pengetahuan tidak boleh dipindahkan daripada guru
kepada murid dalam bentuk yang serba sempurna (KPM, 1995).
Menurut Piaget cara yang penting untuk mengetahui ‘dunia nyata’
Piaget juga
Kini banyak sarjana merujuk fahaman konstruktif kepada 2 alairan, iaitu
konstruktivisme Piaget dan konstruktivisme Glasersfeld.
terdapat 3 komponen konstruktivisme Piaget, iaitu epistemologi, pandangan strukturalis
dan metodologi kajian. Dalam epistemologi, teori-teori personal adalah dibina sebagai
konsep ‘constellations’, dan telah disesuaikan oleh proses assimilasi dan akommodasi
Menurut Ernest (1991)
dalam cara untuk melengkapkan dengan dunia pengalaman organisma manusia.
Strukturalisma Piaget terlibat dalam kepercayaan bahawa dalam mengorganisasi diri
sendiri, kepintaran manusia semestinya membina ciri-ciri set struktur ‘logico-
mathematical’. Metodologi Piaget pula tertumpu kepada penggunaan temubual klinikal
yang mana Ernest menyatakan ianya memberi sumbangan yang penting kepada kaedah
kajian dalam psikologi pendidikan matematik.
Ernst von Glasersfeld dianggap oleh Ernest (1991) telah melanjutkan asas kerja Piaget
dengan signifikan, mengembangkan hasilnya dengan baik dan menghuraikan
konstruktivis epistemologi kepada dua prinsip:
I. Prinsip A: Prinsip konstruktivisme ‘trivial’ : pengetahuan bukannya diterima
secara pasif tetapi dibina secara aktif oleh pihak yang berlajar
II. Prinsip B: Prinsip konstruktivisme ‘radical’ : fungsi kognisi adalah untuk
menyesuai dan memberi khidmat mengorganisasi dunia pengalaman,
bukannya penemuan realiti ontologi.
Dalam Prinsip A; sebarang pengetahuan baru telah dibina secara aktif dari ‘pre-
existing’ objek mental dalam minda pelajar dan ia dibina secara unik dengan ‘gaya’
tersendiri. Model ini dikatakan telah merangsang perkembangan dalam pengajaran.
Prinsip B; dikatakan bahawa semua pengetahuan adalah dibina, dan bahawa tiada
sesiapa yang memberi tahu kita sebarang hal mengenai ‘dunia itu’. Ini jelas
menunjukkan mengapa ia dikatakan ‘radical’
Kelemahan murid-murid dalam matematik merupakan isu utama dalam pendidikan
negara pada masa kini. Di kalangan murid, ramai yang merasakan matematik sebagai
sesuatu koleksi hukum-hukum abstrak yang sukar difahami, menjemukan dan jarang
memberi makna secara langsung kepada mereka.
Sekolah Rendah (KBSR) menjelaskan bahawa pengajaran dan pembelajaran matematik
hendaklah merupakan suatu pengalaman yang seronok dan mencabar bagi semua
murid. Malangnya guru-guru tidak mengikut kehendak sukataran, tetapi mengajar
mengikut pengalaman biasa mereka iaitu pengajaran ialah satu proses memindahkan
atau menyalurkan pengetahuan kepada pelajar. Pengajaran dan pembelajaran
merupakan suatu pengalaman, jarang diberi penekanan oleh guru.
Sukatan Kurikulum Bersepadu
Menurut Judd, Piaget dan Dewey, pengajaran melibatkan lebih daripada mengajar
pelajar-pelajar melakukan respon khusus pada masa dan tempat yang tepat; ia
melibatkan pembelajaran strategi penyelesaian masalah, heuristik dan stratetgi belajar
(Wittrock, 1991). Wittrock menjelaskan pembelajaran melibatkan interaksi di antara
pengetahuan pelajar dan ingatan dan maklumat yang hendak dipelajari. Pengajaran pula
adalah proses yang mendorong pelajar-pelajar membina interaksi ini. Bagi Gabay
(1991), pembelajaran adalah komponen utama dari aktiviti timbal-balas, sebab hasil
yang jelas dikehendaki ialah meningkatkan pengalaman pelajar. Mengajar pula
mencipta syarat atau suasana yang memudahkan pembelajaran.
PENDIDIKAN MATEMATIK DI SEKOLAH RENDAH
Kurikulum matematik sekolah rendah kini berasaskan kepada KBSR dan berteraskan
kepada Falsafah Pendidikan Negara (FPN). Sukatan matematik KBSR meliputi
kemahiran, nombor bulat dan opeasi; pecahan dan operasi; perpuluhan dan operasi;
wang; ukuran dan sukaran; ruang; purata; peratus; dan graf. Berdasarkan Huraian
Sukatan Pelajaran Matematik, matlamat KBSR untuk membina dan mengembangkan
kefahaman murid dalam konsep nombor dan kemahiran asas mengira. Selain itu murid
dapat menghargai kepentingan dan keindahan matematik. Terdapat 7 Objektif yang
telah disenaraikan, yang merangkumi kemahiran asas, kemahiran menggunakan bahasa
dan menyelesaikan masalah.
Proses pengajaran dan pembelajaran matematik KBSR pula cuba memenuhi objektif di
atas. Terdapat 6 perkara yang perlu dipertimbangkan, salah satunya (yang pertama);
Murid perlu dibimbing membina kefahaman tentang konsep dan kemahiran matematik
melalui manipulasi objek konkrit dan gambar rajah serta pemikiran yang bersistem
sebelum diperkenalkan kepada simbol dan algoritma yang merupakan perwakilan
secara abstrak. Pendekatan lain termasuk, latihan, penyelesaian masalah, penggunaan
bahasa, dan penerapan nilai murni. Pendekatan pertama ini jelas menekankan kepada
pemusatan murid dan juga mungkin berasaskan fahaman binaan (konstruktisime).
PENGAJARAN PEMUSATAN MURID.
Model pengajaran ini menggalakkan murid melibatkan diri secara aktif dalam aktiviti
pembelajaran mereka dan guru pula merupakan pemimpin untuk memandu murid-murid
menjalankan aktiviti pembelajaran (Mok Soon Sang, 1993). Dewey sebagai ahli
pendidik
menganalisa pengalaman-pengalaman mereka dan menggalakkan pelajar-pelajar
menjadi lebih bertanggungjawab pada diri sendiri dan terarah (Withall, 1991).
menjelaskan
proses
berorientasi-pelajar
mempastikan
pelajar-pelajar
Konsep pendidikan pemusatan-murid/pelajar berasal dari terapi ‘client-centred’ (Rogers
1965, dalam Withall, 1991). Rogers menjelaskan lagi bahawa dalam hal ini pendidik
mesti sedar dan mengambil berat tentang keperluan afektif pelajar sebagaimana dengan
kognitifnya. Dalam situasi pendidikan, pengajar menggunakan pelbagai ragam
tingkahlaku untuk mengurus suasana pembelajaran (Withall, 1991); tingkahlaku di sini
termasuk: menyusun persekitaran fizikal untuk bersemuka, dialog pada ‘eye-level’ yang
sama di antara guru dengan murid, dan murid dengan murid, mengurangkan jarak sosial
dan .... .
Terdapat kaedah yang bersesuaian untuk dipertimbangkan dalam pengajaran pemusatan
murid; misalnya kaedah kumpulan, inkuiri-penemuan, perbincangan, penyoalan,
penyelesaian masalah, bermain, simulasi, main peranan dan sumbangsaran. Semua
kaedah-kaedah ini hanya dapat digunakan dengan baik jika guru sedar tentang
peranannya dan peranan murid dalam pengajaran dan pembelajaran. Dalam hal ini
Dewey memberi pandangannya, bahawa “educators have to cultivate the ability to put
themselves into the learners’ shoes, and take the phenomenological view (Withall,
1991).
Guru-guru harus tahu ciri-ciri pengajaran pemusatan murid, supaya mereka dapat
mangamalkan model ini dengan lebih berkesan. Mengikut Mok Soon Sang (1993)
terdapat beberapa ciri-ciri yang boleh menjadi panduan, di sini penulis hanya
menyeneraikan sebahagian ciri-cirinya yang dirasakan oleh penulis cukup berkait rapat
dengan fahaman konstruktif. Ciri-ciri tersebut ialah;
♦ Dalam aktiviti P&P, murid memainkan peranan penting, guru merupakan
pemimpin dan membimbing aktiviti.
♦ Interaksi guru dan murid secara dua hala. Interaksi ini mengakibatkan murid
berfikir.
♦ Guru bersifat demokratik, murid-murid sentiasa digalakkan memberi
pendapat mereka, keadah perbincangan digalakkan.
♦ P&P lebih mengutamakan objektif pembelajaran murid.
♦ Penyampaian guru ditumpukan kepada pengajaran yang bermakna supaya
murid memahami dan berupaya membuat kesimpulan.
♦ Interaksi antara murid adalah banyak. Aktiviti kumpulan digalakkan.
♦ Di bawah strategi ini murid-murid akan menunjukkan sifat kreatif dan
berinisiatif.
FAHAMAN KONSTRUKTIF
Fahaman konstruktif dikatakan bermula daripada usaha Jean Piaget, walaubagai mana
pun terdapat sarjana lain seperti Dewey yang secara tidak langsung telah mengutarakan
fahaman yang hampir sama (lihat kenyataan beliau sebelum ini di atas) apa bila dia
menjelaskan, pembelajaran muncul daripada pelajar memproses dari pengalaman
terus mereka (Withall, 1991) dan, “Skills are not acquired by drill and rote
memorization but by activities that the learners, with the aid of educator, employ to
serve their interests and need”.
Selain itu satu teori telah dibina oleh professor P. Ya Galperin dalam tahun 1950an di
USSR yang dikenali sebagai “Theory of Stage-by-Stage Development of Mental
Actions” (Gabay, 1991) yang mana analisis teoritikal ini berdasarkan kepada
“actions”/tindakan sebagai unit utama aktiviti manusia. Galperin (1957, 1969, dalam
Wittrock, 1991) telah mengemukakan model tindakan mental dalam pengajaran.
Pengajaran dalam model ini melibatkan berturut-turut ‘internalization’ kawalan
terhadap tindakan pelajar atau aktivitinya.
Dua contoh yang diutarakan di atas, bagi penulis mempunyai kaitan dengan fahaman
konstruktif.
bukanlah secara terus melalui deria kita, tetapi pertama dan yang lebih utama melalui
tindakan kita (Sinclair, 1987). Ini bermaksud ilmu pengetahun baru dibina daripada
perubahan atau tranformasi subjek diperkenalkan kepda hubungan/interaksi di antara
yang mengetahui dan yang diketahui (knower-known relationship).
menyatakan “that activity means internal manipulations of objects, and that meanings
come from the actions the child performs on these objects, rather than from these
objects themselves” (Wittrock, 1991). Sinclair menjelaskan salah satu maksud tulisan
von Glasersfeld, iaitu pada semua peringkat subjek membina “theories” (dengan
tindakan atau pemikiran) untuk memberi makna terhadap pengalamannya.
Pandangan asas ahli konstruktif ialah, perubahan dalam hubunan di antara subjek dan
objek akan menuju ke arah yang leibh baik walau pun tidak sempurna - subjek
memperolehi ilmu pengetahuan yang lebih baik dari tindakan atau proses pemikirannya
sendiri. Ini jelas bahawa ilmu pengetahuan tidak boleh dipindahkan daripada guru
kepada murid dalam bentuk yang serba sempurna (KPM, 1995).
Menurut Piaget cara yang penting untuk mengetahui ‘dunia nyata’
Piaget juga
Kini banyak sarjana merujuk fahaman konstruktif kepada 2 alairan, iaitu
konstruktivisme Piaget dan konstruktivisme Glasersfeld.
terdapat 3 komponen konstruktivisme Piaget, iaitu epistemologi, pandangan strukturalis
dan metodologi kajian. Dalam epistemologi, teori-teori personal adalah dibina sebagai
konsep ‘constellations’, dan telah disesuaikan oleh proses assimilasi dan akommodasi
Menurut Ernest (1991)
dalam cara untuk melengkapkan dengan dunia pengalaman organisma manusia.
Strukturalisma Piaget terlibat dalam kepercayaan bahawa dalam mengorganisasi diri
sendiri, kepintaran manusia semestinya membina ciri-ciri set struktur ‘logico-
mathematical’. Metodologi Piaget pula tertumpu kepada penggunaan temubual klinikal
yang mana Ernest menyatakan ianya memberi sumbangan yang penting kepada kaedah
kajian dalam psikologi pendidikan matematik.
Ernst von Glasersfeld dianggap oleh Ernest (1991) telah melanjutkan asas kerja Piaget
dengan signifikan, mengembangkan hasilnya dengan baik dan menghuraikan
konstruktivis epistemologi kepada dua prinsip:
I. Prinsip A: Prinsip konstruktivisme ‘trivial’ : pengetahuan bukannya diterima
secara pasif tetapi dibina secara aktif oleh pihak yang berlajar
II. Prinsip B: Prinsip konstruktivisme ‘radical’ : fungsi kognisi adalah untuk
menyesuai dan memberi khidmat mengorganisasi dunia pengalaman,
bukannya penemuan realiti ontologi.
Dalam Prinsip A; sebarang pengetahuan baru telah dibina secara aktif dari ‘pre-
existing’ objek mental dalam minda pelajar dan ia dibina secara unik dengan ‘gaya’
tersendiri. Model ini dikatakan telah merangsang perkembangan dalam pengajaran.
Prinsip B; dikatakan bahawa semua pengetahuan adalah dibina, dan bahawa tiada
sesiapa yang memberi tahu kita sebarang hal mengenai ‘dunia itu’. Ini jelas
menunjukkan mengapa ia dikatakan ‘radical’
tokoh-tokoh matematik
Rene’ Descartes (1596-1650)
Beliau adalah pencipta bagi cabang matematik geometri koordinat. Menurut beliau, adalah mencukupi untuk melukis suatu garis lurus jika penjangnya diketahui. Graf dilukis pada paksi Cartesan mengandungi satu set pasangan tertib (x,y). Beliau dikatakan mendapat idea mengenai koordinat ketika beliau sedang terbaring dan memerhatikan seekor labah-labah pada siling biliknya.
Archimedes 287 – 212 sm
Dilahirkan pada 287 sebelum masihi dan meninggal pada tahun 212 sebelum masihi ketika perang, dibunuh oleh tentera Rom. Tentera Rom tidak mengetahui siapa sebenarnya..
Beliau kemungkinan mendapat pendidikan di Alexandria, di sekolah Euklid. Egypt merupakan kota terbesar pada ketika itu. Beliau telah diajar mengenai kalkulus. Beliau juga dianggap sebagai “Bapa Kalkulus”.
Pencapaian beliau yang terkenal ialah
- Hukum Hidrostatik Archimedes
- Mencipta Takal
- Skru Archimedes
- Menemui pi p
Sir Isaac Newton (1642-1727)
Dilahirkan pada 1642 di sebuah keluarga petani di jajahan Lincoln, England. Semasa kecil beliau tidak dapat bermain permainan kasar kerana badannya tidak cukup kuat, maka beliau menghabiskan masa lapangnya dengan merekacipta berbagai permainan seperti lelayang bertanglung, roda yang dipusingkan oleh air, jam kayu dan jam matahari.
Pencapaian
- Hukum Newton
- Teorem binomial
John Venn (1834-1923)
John Venn dilahirkan pada 4 August 1834 di Hull, Yorkshire, England dan meninggal pada 4 April 1923 di Cambridge, England. Beliau banyak membuat kajian terhadap logik dan kebarangkalian. Minatnya bertambah apabila membaca buku tulisan George Boole dan De Morgan. Beliau mengembangkan lagi idea George Boole mengenai logik dengan mencipta gambarajah Venn untuk menunjukkan persilangan dan kesatuan set.
Johann Carl Friedrich Gauss
Beliau dilahirkan pada 30 April 1777 di Brunswick, Jerman dan meninggal dunia pada 23 Feb 1855 di Göttingen, Hanover , Jerman. Kepintarannya terserlah seawal 7 tahun, apabila dia mengira jumlah nombor 1-100 dengan cepat menyedari bahawa kiraan nombornya adalah 50 pasang dan setiap satunya ialah 101.
Beliau banyak memberi sumbangan di dalam bidang Matematikdan astronimi. Antara pencapaiannya ialah :
- Menemui Hukum Bode iaitu teorem binomial, arithmetik-geometrik, hukum pertukaran kuadratik dan teorem nombor perdana
- Pembinaan 17-gon(poligon) menggunakan pembaris dan kompas.
Al-Biruni (973-1050)
Nama sebenarnya ialah Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni. Beliau dilahirkan pada 15 September 973 di Kath, Khwarazm (sekarang dikenali sebagai Kara-Kalpakskaya, Uzbekistan) dan meninggal dunia pada 13 Dec 1048 di Ghazna (sekarang dikenali sebagai Ghazni, Afganistan). Al-Biruni merupakan ahli falsafah, ahli geografi, astronomi, fizik dan ahli matematik. Selama 600 tahun sebelum Galgeo, Al-Biruni telah membincangkan teori putaran bumi tanpa paksinya yang sendiri. Al-Biruni juga telah menggunakan kaedah Matematik untuk membolehkan arah kiblat ditentukan dari mana-mana tempat di dunia. Beliau juga adalah orang yang pertama menyatakan bahawa jejari bumi ialah 6339.6 km
Al-Battani (850-929)
Al-Battani atau Muhammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu Abdullah adalah bapa trigonometri dan dilahirkan di Battan, Damsyik. Beliau putera Arab dan juga pemerintah Syria.
Al-Battani diiktiraf sebagai ahli astronomi dan matematik Islam yang tersohor.
Beliau berjaya meletakkan trigonometri pada tahap yang tinggi dan merupakan orang pertama yang menghasilkan jadual cotangents
Al-Khawarizmi (780 - 850)
Nama penuhnya ialah Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi dan dikenali sebagai bapa algebra. Beliau pakar dalam bidang matematik dan astronomi.
Antara buku-buku terkenal hasil tulisan beliau ialah Hisab Al-Jabr wal Mugabalah (Buku Pengiraan, Perbaikan dan Pengurangan) dan Algebra.
Pada kurun ke-12, Gerard of Cremona dan Roberts of Chester telah menterjemahkan buku algebra Al-Khawarizmi ke dalam bahasa Latin. Terjemahan ini digunakan di seluruh dunia sehinggalah kurun ke-16
Omar Khayyam (1048-1131)
Nama sebenarnya ialah Ghiyath al-Din Abul Fateh Omar Ibn Ibrahim al-Khayyam dan dilahirkan pada 18 Mei 1048 dan meninggal dunia pada 4 dec 1131. Khayyam sebenarnya bermaksud pembuat khemah.
Sumbangan terbesar Omar Khayyam ialah dalam bidang Algebra.
Beliau pernah membuat percubaan untuk mengklasifikasikan kebanyakan persamaan algebra termasuk persamaan darjah ke tiga.
Malah beliau juga menawarkan beberapa penyelesaian untuk beberapa masalah algebra. Ini termasuklah penyelesaian geometrik bagi persamaan kiub dan sebahagian daripada penyelesaian kebanyakan persamaan lain.
Bukunya `Mazalat fi al-Jabr wa al-Muqabila’ adalah karya agungnya dalam bidang algebra dan sangat penting dalam perkembangan algebra.
Pengklasifikasian persamaan yang dilakukan oleh Omar Khayyam adalah berasaskan kerumitan sesuatu persamaan.
Omar Khayyam telah mengenal pasti 13 jenis bentuk persamaan kiub. Kaedah penyelesaian persamaan yang digunakan oleh Omar Khayyam adalah bersifat geometrikal.
Dalam bidang geometri pula, beliau banyak membuat kajian-kajian yang menjurus kepada pembentukan teori garisan selari.
Beliau juga pernah diarahkan oleh Sultan Saljuq - Malikshah Jalal al-Din untuk bekerja di balai cerap.
Di sana, beliau ditugas untuk menentukan kalendar solat yang tepat.
Khayyam berjaya memperkenalkan kalendar yang hampir-hampir tepat dan dinamakan Al-Tarikh-al- Jalali.
Apa itu Matematik?
Matematik didefinisikan sebagai pembelajaran/kajian mengenai kuantiti, corak struktur, perubahan dan ruang, atau dalam erti kata lain, kajian mengenai nombor dan gambar rajah. Matematik juga ialah penyiasatan aksiomatik yang menerangkan struktur abstrak menggunakan logik dan simbol matematik. Matematik dilihat sebagai lanjutan mudah kepada bahasa perbualan dan penulisan, dengan kosa kata dan tatabahasa yang sangat jelas, untuk menghurai dan mendalami hubungan fizikal dan konsep.Matematik juga adalah badan ilmu berpusat pada konsep-konsep ibarat kuantiti, struktur, ruang, dan perubahan, dan disiplin kajian-kajian ilmiah berkaitan dengannya; Benjamin Peirce memanggil ia “sains yang melukis kesimpulan-kesimpulan yang perlu”. Ia berkembang, melalui penggunaan pemujaradan dan penaakulan logik, daripada membilang, pengiraan, pengukuran, dan kajian bentuk-bentuk dan pergerakan objek-objek fizikal. Ahli-ahli matematik meneroka konsep-konsep tersebut bertujuan untuk merumuskan corak-corak baru dan mewujudkan kebenaran mereka secara penyuntingan ketat yang dipilih melalui aksiom dan takrif-takrif yang sesuai.
Pengetahuan dan penggunaan matematik asas sentiasa berada di dalam bahagian sedia ada dan penting bagi kehidupan individu dan kumpulan tertentu . Penghalusan bagi idea-idea asas adalah dapat dilihat purba di teks-teks matematik berasal dalam Mesir kuno, Mesopotamia, India Purba, dan China Purba, bertambah dengan ketelitian kemudiannya diperkenalkan oleh Yunani Purba. Setakat ini , pembangunan diteruskan dalam keadaan tidak sangat memberangsangkan sehingga Zaman Pembaharuan pada abad ke-16 di mana inovasi-inovasi matematik berinteraksi dengan penemuan-penemuan saintifik baru yang membawa kepada satu pemecutan dalam pemahaman yang diteruskan.
Subscribe to:
Posts (Atom)